В 2002–2003 гг. пользователь Grisha Perelman разместил на сайте arXiv.org три статьи. Они не проходили рецензирование и не появлялись в научных журналах, но произвели революцию в мире математики. В них российский ученый Григорий Перельман представил доказательство гипотезы Пуанкаре. Это единственная из семи задач тысячелетия, которая решена на 2024 г. Математический институт Клэя определил их в 2000 г. как наиболее глубокие проблемы в истории математики.

В 1904 г. французский математик Анри Пуанкаре столкнулся с простым, на первый взгляд, вопросом и внезапно понял, что не в состоянии доказать очевидный ответ на него. Согласно гипотезе, выдвинутой Пуанкаре, всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

«Представьте двумерную сферу. Двумерная сфера – это поверхность трехмерного шара, например, камера футбольного мяча. А трехмерная сфера – это поверхность шара в четырехмерном пространстве, которую мы плохо умеем себе представлять, но которую можно описать с помощью уравнений. Про двумерную сферу мы знаем, что если натянуть на ее поверхность резинку, то эту резинку можно стянуть в точку, не снимая ее с поверхности. Пуанкаре в свое время обнаружил следующий факт: если у вас есть вообще любая двумерная поверхность без края, которая не простирается в бесконечность, и при этом вы знаете, что круглая резинка, натянутая на нее, может быть стянута в точку, то эта поверхность – сфера, возможно, слегка помятая сфера», – рассказал «Ведомостям» директор Высшей школы современной математики Московского физико-технического института (ВШМ МФТИ) Андрей Соболевский.

Соболевский добавил, что вопрос, который задал Пуанкаре, заключался в том, «верно ли, что свойство стягиваемости замкнутой кривой в точку характеризует сферы и в пространствах более высоких размерностей, например, трехмерную сферу в четырехмерном пространстве».

Над проблемой доказательства гипотезы ученые бились десятки лет, пока в 1982 г. американский математик Ричард Гамильтон не предложил программу исследований, основанную на понятии потока Риччи – нелинейного аналога уравнений теплопроводности. В том же году 16-летний Григорий Перельман завоевал золотую медаль на Международной математической олимпиаде в Будапеште и без экзаменов поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ).

Кандидатскую диссертацию Перельман защитил в Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова (МИАН), после чего стал работать в лаборатории математической физики института. В 1992 г. математик отправился в США, где продолжил научную деятельность и лично познакомился с Гамильтоном и его работами, а по возвращении в МИАН начал проводить по ним семинары.

В опубликованных Перельманом в 2002–2003 гг. на сайте архива препринтов (предварительных версий научных публикаций) arXiv.org статьях он доказал не только гипотезу Пуанкаре, но и представил доказательство более общей гипотезы геометризации Терстона. Математик создал новый метод изучения потока Риччи, названный теорией Гамильтона-Перельмана, и полностью классифицировал компактные трехмерные многообразия.

«Прорывом Перельмана стало понимание качественной природы сингулярностей, что позволило ему доказать гипотезу Пуанкаре. Один из способов возникновения сингулярностей во время потока Риччи заключается в том, что двумерная сфера может сжаться в точку за конечное время. Перельман показал, что такие «коллапсы» можно устранить, выполнив своего рода «хирургическую операцию» над многообразием», – объяснил «Ведомостям» доцент кафедры высшей математики Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» (НИЯУ МИФИ) Евгений Мартемьянов.

Соболевский также отметил, что для завершения программы Гамильтону не хватало нескольких идей, которые и привнес Перельман. «Эти идеи были очень в русле родной для Перельмана Санкт-Петербургской математической школы. Сейчас, когда гипотеза Пуанкаре уже доказана, можно сказать, что Гамильтону не хватило петербургского математического образования или соавтора питерского математика», – отметил Соболевский.

Результаты работы Перельмана заняли всего 68 страниц текста, но при этом были настолько сложны, что когда ученый читал серию публичных лекций и докладов в США в 2003 г., то его не понимали ни коллеги, ни студенты. Выкладки российского математика даже вызывали недоверие – с 2004 по 2006 гг. их проверку проводили три группы экспертов из США и Китая. В конце концов доказательство гипотезы Пуанкаре признали состоявшимся.

В 2006 г. журнал Science назвал решение гипотезы Пуанкаре «прорывом десятилетия», а Перельман был удостоен Филдсовской премии, математического аналога Нобелевской премии, но отказался от нее.

Методы, разработанные Гамильтоном и Перельманом, пытаются использовать для решения других задач. В частности, задачи классификации многообразий малой размерности, рассказал Мартемьянов. «Например, дифференцируемые многообразия четвертого измерения являются наиболее сложными: они не поддаются геометризации (как в более низком измерении), не классифицируются хирургическим путем (как в более высоком измерении или топологически) и демонстрируют необычные явления», – добавил он.

Открытие Перельмана лежало не в сфере практической пользы, но расширило понимание учеными Вселенной и ее формы. Как написал польский математик Гуго Штейнгауз, «великие математики всех времен выражали уверенность, что развитие математики оправдывается красотой результатов и потребностью познания истины. Эта потребность считалась бескорыстной, так что математики часто с пафосом отвергали критерий практической полезности своей науки».

В 2007 г. Перельман занял девятое место в списке «100 ныне живущих гениев» британской газеты Sunday Telegraph. Спустя три года Математический институт Клэя присудил российскому ученому премию в размере миллиона долларов за решение одной из задач тысячелетия, но и эту награду Перельман не стал принимать. Он объяснил это так: «Если говорить совсем коротко, то главная причина – это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Ричарда Гамильтона ничуть не меньше, чем мой».

Российский ученый выделил вклад Гамильтона в доказательство гипотезы Пуанкаре, даже несмотря на то что полноценно поработать совместно у них не получилось. По словам Андрея Соболевского, они были психологически разными людьми. Характеризуя Перельмана, директор ВШМ МФТИ сказал: «Перельман – это такой наш классический матшкольник, очень сильный, очень хорошо понимающий математику, для которого нет авторитетов, кроме правильности математического доказательства».

В подготовке материала участвовал Виталий Крюков

Скорость интеграции искусственного интеллекта в бизнес-процессы поражает воображение. В 2024 г. его в своей деятельности использовали около 43% российских компаний ‒ в два раза больше, чем в 2021 г., подсчитали Национальный центр развития ИИ при правительстве и ВЦИОМ. Подавляющее большинство из них ‒ 97% получили от использования этой технологии финансовый или нефинансовый эффект. О спросе бизнеса на «цифру» и ключевых разработках в этой сфере разобрались «Ведомости. Технологии и инновации» из интервью вице-президента МТС по развитию корпоративного и нового бизнеса Олега Алдошина.