Созданная 15 лет назад в Вышке Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений изучает фундаментальную математику, формируя единый язык математической науки. Лаборатория стала известным и авторитетным научным центром, признанием ее заслуг стали доклады сотрудников на международных математических конгрессах и публикация статей в ведущих мировых математических журналах. О деятельности научного подразделения новостная служба «Вышка.Главное» побеседовала с заведующим лабораторией профессором РАН Дмитрием Калединым.

— Когда была создана лаборатория?

— Мы стали одной из двух первых международных лабораторий Вышки в 2010 году, но я бы начал историю с 2008 года, с организации математического факультета, и с той эпохи, когда Вышка из специализированного экономического вуза начала превращаться в полномасштабный исследовательский университет. А в 2010-м проводился первый конкурс мегагрантов правительства, мы выиграли его и получили возможность заниматься масштабными научными исследованиями, в том числе фундаментальными. В таком режиме мы работаем уже 15 лет.

— Расскажите, пожалуйста, о научном руководителе лаборатории.

— Федор Алексеевич Богомолов — выдающийся ученый, настоящий классик науки из знаменитой научной школы Игоря Шафаревича, сочетающий глубокие знания математики и широкую образованность. Нужно понимать, что геометрия нередко сложна в формализации, в ней очень важна интуиция, а Федор Алексеевич отличается исключительной интуицией. Можно сказать, что он под руководством Шафаревича и совместно с Андреем Тюриным, Василием Исковских и другими и создавал московскую школу алгебраической геометрии. Кандидатская диссертация Богомолова стала прорывной, настоящим фундаментом целого раздела алгебраической геометрии, теория многообразий Калаби — Яу и теория струн во многом основаны на работах Богомолова. За выдающиеся научные достижения он был избран в июле 2020 года в члены Европейской академии. Федор Алексеевич работает в Нью-Йоркском университете с 1994 года, но продолжает активно сотрудничать с российскими коллегами, охотно откликнулся на наше предложение о совместной работе и стал нашим научным руководителем. Мы считаем его нашим научным и идеологическим лидером.

Добавлю, что одним из важных элементов отечественной математической школы всегда был широкий взгляд на мир, вера в единство математики, и это мы стремимся сохранить. Федор Алексеевич — яркий пример этой универсальности.

— В понимании обычного человека, который мало сталкивается с математикой в повседневности, кроме бытовых расчетов, алгебра и геометрия — совершенно разные области математики. Как связаны эти дисциплины?

— Геометрия — то, что объективно существует в природе, геометрические объекты уж точно могут быть предметом научного изучения. Алгебра больше оперирует символами, здесь выше элемент произвола и неочевидно, что все это не тавтологично и не игра в бисер. Однако геометрическая интуиция трудно формализуется, а основа современной математики — это то, что все должно быть формально доказано. Поэтому если в двух словах, то можно сказать, что мы изучаем геометрические объекты алгебраическими методами.

Вообще говоря, в математике есть две технологии — алгебра и анализ. Аналитик чувствует бесконечно малое, может что-то оценить приблизительно, может указать, каким членом в формуле можно пренебречь.

В алгебре все всегда или равно, или не равно, пренебрегать нельзя ничем, полутонов нет. В некотором смысле алгебраические объекты более жесткие, про них труднее что-то доказать, но зато, если это удается, получаются сильные результаты.

— Каковы главные направления деятельности лаборатории?

— Я бы сказал, что разделение по направлениям у нас достаточно условно. В современной теоретической математике алгебраическая геометрия занимает одно из центральных мест и связана с очень многими областями, поэтому и направления нашей работы достаточно широки. Но в первом приближении исследования в классической алгебраической геометрии возглавляет Юрий Прохоров, вышедший из школы Василия Исковских. Темой симплектических многообразий, переплетающейся с дифференциальной геометрией, чьи методы близки к анализу, занимается группа под руководством Екатерины Америк. Работают также группы, изучающие производные категории (это относительно новый раздел, который исследуется последние 20–30 лет), и группа по некоммутативной алгебраической геометрии.

— Что означает этот термин?

— Основное алгебраическое понятие в алгебраической геометрии — кольцо, то есть множество, элементы которого можно складывать и умножать. Геометрическому объекту мы сопоставляем кольцо функций на нем. Умножение функций, как и умножение обычных чисел, коммутативно, то есть произведение А*В равно В*А. Но есть и некоммутативные кольца, например кольцо матриц. Казалось, что это чисто абстрактная игра ума, но со времен революции в физике, вызванной появлением квантовой механики, стало ясно, что некоммутативные кольца также необходимы для описания реального мира. Сравнительно недавно выяснилось, что и в рамках чисто математических эта теория важна и интересна и неожиданно много вещей из обычной коммутативной алгебраической геометрии работают также и для некоммутативных колец. Так и возникло новое направление — некоммутативная алгебраическая геометрия. В нашей лаборатории им занимаются моя группа и группа ассоциированного сотрудника лаборатории члена-корреспондента РАН Александра Кузнецова. Еще раз подчеркну, что, несмотря на некоторое разделение, наша наука едина и многие коллеги параллельно ведут работу сразу по нескольким направлениям. Чрезмерно узкая специализация в математике непродуктивна, надо четко понимать свою область знаний и одновременно хорошо представлять соседние.

— Вы больше занимаетесь фундаментальной наукой или прикладными исследованиями?

— В основном мы изучаем фундаментальные принципы. Наша деятельность так устроена, что то, что мы исследуем, найдет практическое применение, но не прямо сейчас, и неясно, что выстрелит в ближайшей, среднесрочной и более отдаленной перспективе. Мы создаем базис, без которого не могут работать коллеги, занимающиеся прикладными разработками. Объяснить конкретнее, к сожалению, я не могу, и никто не может. Дело в том, что математика развивается как язык. Известна расхожая фраза, эпиграф к одному из романов братьев Стругацких: «Понять — значит упростить». Доказательства новых теорем часто очень сложны. Со временем мы лучше понимаем, как все устроено, придумываем соответствующий язык, и на нем теорема оказывается почти очевидной; зато на этом языке можно уже придумать новые теоремы и новые сложные доказательства и повторить процесс. Так устроен прогресс в математике, и он довольно быстрый. Современная фундаментальная математика опережает школьную лет на 200, «высшую математику для инженеров» — на 100, а перевод с современного языка на старый технически невозможен. Как я уже говорил, алгебраическая геометрия — один из центров современной математики, и даже не только математики: например, есть приложения в информатике, очень много приложений в теоретической физике.

Физики как раз думают геометрически, но решают свои задачи алгебраически, поэтому наши работы у них вполне востребованы. А порой неожиданно оказывается, что для совершенно практических применений необходимы вещи, казавшиеся безнадежно абстрактными (обычно здесь упоминают криптографию и теорию кодирования, но есть и другие примеры).

— В одной из презентаций лаборатории упомянуто как относительно простой пример полиномиальное уравнение. Что это такое?

— Полином — это многочлен, сумма конечного числа степеней переменной, с какими-то коэффициентами. Кривые на плоскости, заданные полиномиальными уравнениями, — это, грубо говоря, графики многочленов. Если многочлен степени 1, т.е. содержит степени не выше первой, то его график — это прямая; этим занимается школьная геометрия. Степень 2 — это окружности, эллипсы и гиперболы. Это тоже классика, которую знали еще древние греки. Можно и нужно рассматривать и более высокие степени, и не только плоскости, но и многомерные пространства. В нулевом приближении этим мы и занимаемся. Конечно, это все равно идеальные формы, которых в реальном мире не бывает. Скажем, две прямые могут пересекаться только в одной точке, а в реальности любую кривую можно немного пошевелить, и число точек пересечения станет больше. Однако если у вас есть, например, ураган, то вам важна прежде всего его идеальная форма — то, что он закручивается в спираль; какого именно вида эта спираль и с какой точно скоростью она движется — это уже следующий вопрос. Можно сказать, что алгебраическая геометрия — это геометрия идеальных форм.

— Какими достижениями лаборатории и коллег вы гордитесь?

— Математикам Нобелевскую премию не дают. Главным и, по сути, единственным формальным признаком мирового признания является доклад на Международном математическом конгрессе. Эти конгрессы проходят раз в четыре года и подводят итог развития нашей науки за этот период. Здесь у нас все складывается хорошо. Например, ассоциированный сотрудник нашей лаборатории Александр Кузнецов делал один из 20 пленарных докладов конгресса 2022 года, до этого в 2014 году он делал секционный доклад. Двое наших коллег, уже упомянутые Юрий Прохоров и Александр Кузнецов, — члены-корреспонденты РАН. Кроме того, целый ряд наших сотрудников публикуют статьи в ведущих мировых математических журналах.

Это формальные показатели. Но есть то, что непросто измерить: нас узнают и с нами сотрудничают отечественные и зарубежные коллеги. Наша лаборатория стала узнаваемым брендом.

— Расскажите, пожалуйста, о семинарах лаборатории, кто их участники? Это преимущественно студенты Вышки?

— Мы организуем их для всех. Кроме вышкинцев, приходят студенты и аспиранты из Физтеха, МГУ, других вузов, по 10–15 человек. Многие продолжают их посещать, сами делают доклады, и, значит, наша деятельность в этом направлении небессмысленна.

— Насколько активно в деятельности лаборатории участвуют студенты и аспиранты?

— Очень активно. Одна из ключевых задач нашей лаборатории — быть интерфейсом между опытными, взрослыми математиками и студентами. На студенческом семинаре доклады делают только сами аспиранты и студенты, они разбирают те или иные интересные научные статьи. Отмечу, что наши стажеры быстро достигают высокого уровня, есть даже начинающие писать научные статьи уже на 1-м курсе, а к 3–4-му курсу статьи пишут практически все стажеры. Не представляю, как они это успевают!

Для нас обычная траектория, когда стажеры уезжают в аспирантуру в другой вуз, другой город или за границу для расширения кругозора, потом многие возвращаются, совершая важный круговорот, обогащающий науку. В качестве примера я бы назвал Александру Кузнецову: она уехала в аспирантуру во Францию, защитилась, затем вернулась в Москву и замечательно работает в нашей лаборатории.

— Вы хотели бы видеть в лаборатории больше состоявшихся ученых или молодых исследователей?

— В московской математике есть некоторая проблема: не хватает людей в возрасте от 60 до 70 лет — в начале 90-х многие уехали за границу. Но дальше такого провала нет: начиная с моего примерно возраста и ниже, у нас есть полный возрастной спектр. В нашем коллективе сочетается, с одной стороны, молодежь, которой мы платили и платим достойные зарплаты, — это аспиранты и магистранты, а также продвинутые бакалавры — и, с другой стороны, опытные сотрудники, которым важны не деньги, а возможность работать с молодежью и передавать накопленные навыки и знания. Работа исследователя без обязательного преподавания, конечно, приятна, но совсем не встречаться с молодежью нерадостно и вредно, это ведет к застою. При этом даже сейчас, во времена интернета, наставники, опытные ученые нужны, чтобы молодежь не увлекалась чрезмерно научной модой, не бежала за ней, лучше представляла себе общую картину нашей науки.

Мы искали баланс и, в общем-то, его нашли; соотношение 2:1 между молодежью и состоявшимися учеными представляется оптимальным. Конечно, при необходимости все это можно настроить.

— Как вы привлекаете молодежь помимо регулярных семинаров?

— Важную роль играют летние школы. Первое, что мы сделали, получив финансирование, — организовали такую ежегодную школу для аспирантов и продвинутых студентов в Ярославле на 70–80 человек. Сейчас эти школы переместились в Суздаль. Туда приезжают не только москвичи и петербуржцы, но и молодые люди из Красноярска, Новосибирска, Самары, других городов. Они полезны для организации и рекрутинга. Парни и девушки, посетившие их, приходят к нам аспирантами и стажерами. Также мы проводим одно- и двухдневные конференции по алгебраической геометрии.

— Как результаты работ используются в учебном процессе?

— Многие наши сотрудники ведут курсы на факультете математики, мы помогаем в проведении семинаров и коллоквиумов, наши стажеры одновременно учатся как аспиранты, магистранты и студенты. Наконец, участники нашего регулярного семинара получают оценки, обретают опыт публичных выступлений и докладов.

— С какими подразделениями Вышки вы сотрудничаете?

— С факультетом компьютерных наук, математиками из наших кампусов в Санкт-Петербурге и Нижнем Новгороде.

— Как в нынешних сложных условиях продолжается сотрудничество с иностранными коллегами?

— Я не слышал про ситуации, чтобы международный математический журнал отклонил статью по национальной принадлежности или аффилиации. Во многих странах Запада институциональное взаимодействие с российскими научными структурами не одобряется, но на индивидуальном уровне сотрудничество продолжается, причем в США ограничений меньше, чем в Европе. У нас по-прежнему есть иностранные аффилированные сотрудники. Интерес к сотрудничеству есть, мы также продолжаем научные контакты, сложности скорее логистические.

У нас налажены связи с рядом коллег в Китае, с ними есть что обсудить, но ориентироваться только на Китай мы не хотели бы. Хорошие математические школы есть также в Индии и Бразилии, с ними мы планируем наладить контакты.

Высшая школа экономики с 2010 года реализует проект «Центры превосходства», нацеленный на создание передовых научных школ под руководством ведущих российских и зарубежных ученых. Главная идея проекта — привлечь ведущих ученых, представляющих широкий спектр исследовательских методов и традиций, к совместной работе и созданию новых научных школ в университете.

Старт проекту был дан после победы двух научных коллективов Вышки в конкурсе, организованном по принятому 9 апреля 2010 года Постановлению Правительства России №220. Сегодня 42 центра превосходства проводят исследования по самым разным научным направлениям: математике, биологии, социологии, лингвистике.

«Реализация проекта обогатила Вышку, расширила спектр ее исследований, образовательных программ, позволила привлечь лидеров науки с мировым именем и молодых талантливых ученых. За эти годы мы создали передовые научные школы, результатами которых гордится Вышка и которые вносят значительный вклад в реализацию стратегии развития университета», — подчеркнула директор по перспективным научным исследованиям НИУ ВШЭ Марина Литвинцева.