«Какая сегодня будет погода?» - миллионы людей во всем мире начинают свой день с этого вопроса и получают на него ответ, заглядывая в интернет или слушая по радио прогноз погоды. Часто нас интересует прогноз не только краткосрочный, но и более отдаленный. Как часто прогноз бывает правильным? От чего и от кого это зависит? Как часто мы сталкиваемся с неожиданностями, такими, например, как январский снегопад в Риме или ненормальная жара летом в Германии? Кто нам поможет оценить глобальное потепление и таяние снегов в Антарктиде? И, наконец, что делают математики в Гидрометеоцентре?
Доценты кафедры математики и анализа данных Финансового университета Борисова Л.Р. и Фридман М.Н. постарались ответить на эти вопросы.
Когда студенты проходят по дисциплине «Теория вероятностей» тему «Закон больших чисел», то основной пример, который большинство лекторов используют, следующий: если последние 50 лет средняя температура в январе в какой-то конкретной местности, например, Москве, была примерно - 7–-5 градусов, то, скорее всего, и в этом году она будет вблизи этих значений. Основа такого предположения – утверждение, что средний разброс, а математики говорят- дисперсия среднего арифметического результата- стремится к нулю при огромном числе испытаний. Таким образом, предсказать погоду можно, если известны статистические данные. Поскольку для прогнозирования погоды используют измерения конкретных физических величин (скорость ветра, температура, концентрация определенных веществ в атмосфере, например, влажность воздуха, давление воздуха и другие параметры в определенный момент времени и в определенной точке), то использование математического моделирования позволяет предсказать динамику изменения погодных показателей, опираясь не только на исторические данные, но, прежде всего, на конкретные уравнения математической физики. Прежде всего отметим, что основой моделирования различных потоков являются известное уравнение непрерывности (в качественном виде сформулированное еще великим М. Ломоносовым как закон сохранения массы) и уравнения Остроградского–Гаусса, из которых получаются важные уравнения Навье-Стокса. Эти очень сложные уравнения описывают течение жидкостей и газов. На сегодняшний день мы не знаем, при каких условиях у них есть решения, если рассматривать такую систему в трёх физических пространственных измерениях. Точная аналитическая теория для этих уравнений в настоящее время неизвестна и является предметом исследования многих математиков в разных странах. Пока не доказано, существуют ли решения этих уравнений бесконечно долго для любого разумного начального условия, поскольку решение может развить очень нерегулярное поведение спустя определённое время. Однако есть приближенные решения этих уравнений, полученные для ряда упрощенных по сравнению с реальной жизнью моделей. Мы наблюдаем, что достаточно часто прогнозы погоды. основанные на этих приближенных решениях, оказываются правильными. Некоторые результаты доказывают существование решений с короткими временными интервалами.
Однако, увы, есть, и часто, «проколы» в работе предсказателей погоды. И это связано с теми чрезвычайно сложными процессами, которые происходят в атмосфере, и с трудностями их корректного математического описания. Одним из самых сложных аспектов уравнений Навье-Стокса является турбулентность, когда вихри в жидкости появляются на различных масштабах длины. В математике сложно рассматривать все эти разные шкалы одновременно. Отдадим должное метеорологу Э.Лоренсу, который в 1963 году при изучении конвекции воздуха, предложил для описания динамики воздуха систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получилась при рассматривании уравнений математической физики при определенных приближениях. Просчитав систему на компьютере, Лоренц захотел проверить полученный результат, и еще раз задал начальные данные с точностью до тысячных, в то время как вычислительная система компьютера позволяла проводить расчеты с точностью до шестого знака после запятой. Лоренц получил другой результат. Ошибки не было. Трудно было предположить, что незначительное изменение начальных данных могло привести к ошибке. Так была открыта турбулентность при конвективном движении жидкости в трубке и ламинарно-турбулентный переход, происходящий при некотором критическом градиенте температур. При определённом сочетании параметров решением системы является странный аттрактор (аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. Из-за характерной формы аттрактор получил название «бабочка Лоренца». Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации. Физический смысл бифуркации в модели Лоренца — переход ламинарного движения жидкости к турбулентному. Таким образом, вот уже больше полувека метеорологи всех стран при изучении погодных явлений используют уравнения гидро- и газодинамики как основные, благодаря которым можно увидеть турбулентные переходы при определенном стечении как параметров модели, так и динамики процесса.
В настоящий период отметим, что за период с 1963 года произошли кардинальные изменения не только в усовершенствовании компьютерной технике, прежде всего. с точки зрения увеличения быстроты расчетов систем из большого количества уравнений с большим количеством параметров, но и появлением новых статистических подходов, прежде всего совершенствования методов распознавания образов и компьютерных нейросетей, как один из основных подходов в распознавании на очень больших выборках. благодаря развитию нейронных сетей и машинного обучения стали возможны новые подходы к анализу и прогнозированию погоды. Нейронные сети могут обрабатывать большие объемы данных, способны учитывать сложные взаимодействия между различными факторами, такими как температура, атмосферное давление, влажность и ветер, что позволяет получать более точные прогнозы погоды на короткие и длительные периоды времени. Отметим, что такие модели в нашей стране уже разрабатываются. В частности, в Новосибирском государственном техническом университете и Сибирском региональном научно-исследовательском гидрометеорологическом институте. Новосибирские ученые не привлекают аппарат дифференциальных уравнений для моделирования. Весь процесс построения модели контролируется с помощью единого критерия (критерия среднего риска) с использованием процедуры скользящего контроля.
Глобальное моделирование погоды подразумевает симбиоз инженерных моделей на основе уравнений математической физики и использования нейросетей. Такой подход демонстрируют разработчики в компании Яндекс (модель «Метеум» от Яндекс Погоды). Данные многочисленных спутников в реальном времени, суперкомпьютеры и мозги разработчиков – вот основа точного прогноза с точностью до минуты и квартала.
Правильный прогноз погоды — это не только наше удобство- что надеть, взять ли зонтик и т. п, это, в первую очередь, необходимая информация для сельского хозяйства, транспорта, строительства и других отраслей человеческой деятельности.
Особую важность приобретают сейчас очень отдаленные прогнозы. Глобальное потепление, таяние вечной мерзлоты и другие вызовы ожидают человечество в будущем, и человечество должно быть готово ответить на эти вызовы природы. Поэтому роль математики в прогнозировании нашего будущего нельзя недооценивать.