Профессор Кафедры математики и анализа данных Финансового университета Лукьянов П.Б. рассказывает о том, как его студенты решают прогнозные экономические задачи «по-умному», используя интервальную арифметику и язык R.

Традиционный подход к решению прикладных экономических задач строится в предположении, что исходные данные, которые затем обрабатываются и анализируются, известны точно или могут быть измерены с заданной степенью точности. Для широкого круга задач это действительно так: сначала выполняется накопление и регистрация исходных данных, затем эти данные подвергаются обработке и анализу, рассчитываются ключевые показатели, исследуются зависимости одних параметров от других.

Вместе с тем существует ряд задач, в которых исходные данные, необходимые для решения, не могут быть определены точно. Наглядный пример – прогнозные задачи, когда требуется определить будущую стоимость потребительской корзины, цену на топливо, курсы валют, цены акций и т.д.

При ведении бизнеса принципиально важными являются управленческие решения по планированию хозяйственной деятельности. Вместе с тем точные данные для принятия решения известны далеко не всегда. Пример: производственной фирме необходимо заключать контракты на закупку различных видов сырья для производства и выпуска продукции. Объемы закупок сырья напрямую зависят от будущей выручки за проданный товар. Но показатели спроса на товар (рыночная цена, объем реализации) неизвестны. Руководство при принятии решения о закупке может оперировать лишь приблизительными, оценочными значениями. Очевидно, что решение, принятое на основе не точных данных, в общем случае будет отличаться от объективно оптимального управленческого решения.

Как действовать в таких случаях? Как рассчитывать экономические показатели? На какие цифры опираться? Каким образом рассчитать ожидаемую прибыль предприятия, когда цены на сырье не могут быть известны или предсказаны точно, оценка спроса на продукт является приблизительной, затраты и количество производимого товара зависят от будущей ситуации на рынке?

Очевидно, требуется выполнение расчетов с использованием данных, которые на момент выполнения расчета не могут быть определены в силу неопределенности будущего. Таким образом, можно распределить экономические задачи на две большие категории:

Задачи, которые обсчитывают то, что уже произошло. В этом случае все необходимые данные для решения задачи известны или могут быть известны точно,

Задачи, в которых нужно выполнять расчеты по данным, которые еще не существуют в природе, и могут быть сделаны лишь приблизительные оценки. Соответственно, при использовании в расчетах оценочных данных результатом могут быть также только прогнозные, оценочные значения.

Один из подходов для решения задач второго типа заключается в том, что вместо попыток угадывания будущего значения показателя выполняется определение допустимого множества возможных значений показателя. Задача определения верхней и нижней границ показателя на некотором временном диапазоне решается различными методами: исследованием фундаментальных законов и тенденций развития рынка, на основании технического анализа, экспертных оценок и т.д.

Наиболее общим можно считать подход, заключающийся в ограничении значения рыночного показателя оценками сверху и снизу. Предполагается, что фактическое значение показателя гарантированно находится внутри этого интервала.

Пусть X – некоторый параметр, значение которого на данный момент не известно, но для которого можно указать интервал неопределенности – диапазон возможных значений Х:

[X] = [Xmin, Xmax], Xmin <= Xmax, X [Xmin, Xmax].

Очевидно, что решение Y = f(X), полученное на основании интервально заданного параметра, также будет являться интервалом:

[Y] = f ([X])

В общем случае, когда решение Y зависит от N параметров, и значение каждого параметра задается интервалом неопределенности, вклад в неопределенность решения Y будут вносить все интервалы неопределенности исходных данных:

[Y] = f ([X1], [X2], …, [XN])

Алгоритм вычисления интервала неопределенности решения [Y] следующий: после того, как определены верхние и нижние границы всех исходных параметров, расчеты искомой величины Y выполняются два раза: по лучшему и по худшему сценарию. После этого утверждается, что фактическое значение Y будет гарантированно находиться в интервале между лучшим и худшим значениями:

Y [Y] = [Y_min, Y_max]

Таким образом, задача определения интервала сводится к корректному вычислению Y_min и Y_max. Особенность вычислений Y_min, Y_max заключается в том, что в реальных экономических задачах при наличии сложных расчетных формул далеко не всегда очевидно, какие значения границ интервалов исходных данных (минимальные или максимальные) брать для расчета лучшего и худшего сценария. Требуются формальные правила обработки интервальных данных, и эти правила существуют:

Для показателей, имеющих интервальную природу, число N заменяется интервалом: N -> [N] = [a, b], a <= b. Соответственно, переписываются все элементарные математические операции с учетом того, что теперь в операциях участвуют интервалы. Таким образом, правила классической арифметики становятся лишь частным случаем интервальных вычислений, когда a = b.

Использование формул для интервальных величин позволяет формально решать задачи с данными, имеющими интервальную природу, и по итогам расчетов получать корректный результат в виде интервала возможных значений.

Практическое использование интервальной арифметики в реальных задачах ограничено тем объективным фактом, что при значительных интервалах неопределенности исходных данных ширина неопределенности итогового результата растягивается так, что в полученных результатах вычислений мало практической пользы. Вместе с тем, при отсутствии других достоверных способов оценки важных экономических показателей расчет с использованием интервальной арифметики остается востребованным.

На Кафедре математики и анализа данных при изучении дисциплин «Программирование в среде R», «Разработка web-приложений и анализ данных на языке R» студенты направления «Бизнес-информатика» учатся решать прогнозные экономические задачи, используя формулы интервальной арифметики, для чего разрабатывают соответствующие библиотеки на языке R, строят интервальные калькуляторы и затем на их основе создают значительно более сложные интерактивные приложения для выполнения экономических расчетов, имеющих интервальную природу.

В итоге, помимо приобретения навыков в программировании, вдумчивый студент начинает смотреть на проблему поиска решения экономических задач глубже, расширяя свой математический аппарат и оценивая его применимость в каждом конкретном случае.