Эксперт кафедры математики и анализа данных Финансового университета, ассистент Шарипов Данила Алексеевич, считает, что, когда говорят об искусственном интеллекте, чаще всего вспоминают нейронные сети, большие данные и машинное обучение. Но в основе всех этих сложных систем лежит математика — особенно линейная алгебра. Без неё современные модели просто не могли бы существовать. Линейная алгебра задаёт язык, на котором ИИ «думает», и именно через неё можно понять, как компьютеры обрабатывают и обучаются на данных.
Самое базовое понятие здесь — это вектор. Для компьютера всё превращается в векторы: изображения, тексты, звуки, даже смысловые значения слов. Например, вектор может описывать картинку как набор чисел, соответствующих яркости пикселей, или слово — как точку в многомерном пространстве признаков. Все операции в машинном обучении — умножение матриц, скалярные произведения, преобразования — происходят именно с такими векторами.
Двойственное пространство — это более тонкое понятие линейной алгебры, которое на первый взгляд кажется абстрактным. Но если немного вникнуть, то оказывается, что оно напрямую связано с тем, как работают модели ИИ. Двойственное пространство, по сути, состоит из всех возможных линейных функционалов, то есть отображений, которые берут вектор и возвращают число. Если в обычном пространстве у нас есть векторы, то в двойственном — это как бы «способы измерить» эти векторы.
В машинном обучении это можно интерпретировать следующим образом. Вектор признаков описывает объект (например, картинку или пользователя), а веса модели — это функционал, который вычисляет «оценку» или предсказание. Когда нейронная сеть умножает входной вектор на веса, она фактически применяет элемент из двойственного пространства: каждый слой сети как бы измеряет входные данные под определённым углом.
Можно сказать, что процесс обучения модели — это поиск подходящего функционала, то есть правильных коэффициентов в двойственном пространстве, которые наилучшим образом отражают зависимости в исходных данных. Например, при обучении линейного классификатора мы подбираем веса ww, чтобы скалярное произведение wTxwTx максимально точно разделяло классы. Вектор ww как раз и можно рассматривать как элемент двойственного пространства по отношению к пространству входных признаков xx.
Если пойти ещё глубже, то многие алгоритмы оптимизации в машинном обучении, такие как метод градиентного спуска, тоже используют двойственность. В задачах оптимизации часто рассматривают двойственную задачу, где вместо исходных переменных анализируются множители Лагранжа — они тоже принадлежат двойственному пространству. Работа с двойственными задачами позволяет упростить вычисления или получить более стабильные результаты, особенно при больших данных. Например, в методе опорных векторов (SVM) решение ищется именно в двойственном пространстве, где данные представлены через скалярные произведения, а не напрямую.
В контексте искусственного интеллекта двойственность помогает понять, что любое обучение — это не просто подбор чисел, а поиск «наилучшего способа измерить» данные. Мы создаём не просто модель, а инструмент, который из многомерных признаков извлекает смысл в виде числовых оценок.
Таким образом, линейная алгебра не просто математическая основа, а язык, на котором формулируются все идеи машинного обучения. Понимание двойственного пространства и вообще понятий линейной зависимости, базиса, размерности помогает глубже понять, что делает ИИ «внутри». Когда говорят, что модель обучается, на деле это значит, что она двигается по пространству возможных функционалов в поиске тех, что наилучшим образом отражают данные.
В итоге можно сказать, что связь искусственного интеллекта и линейной алгебры — не случайна и не только техническая. Она концептуальная. Линейная алгебра описывает структуру пространства, а ИИ учится ориентироваться в этом пространстве, понимать его через двойственные связи и преобразования. Чем лучше мы понимаем эти математические основы, тем точнее и эффективнее можем строить умные системы, которые учатся, анализируют и принимают решения.