Международная лаборатория кластерной геометрии, действующая на факультете математики НИУ ВШЭ, занимается формированием новой научной дисциплины, соединяющей в себе знания из различных областей математики. Выполненные в ней работы вызывают большой интерес, в том числе у зарубежных коллег. Лаборатория изучает семейства кривых и разрабатывает методы, применяемые в исследованиях физического микромира. Новостная служба «Вышка.Главное» побеседовала с заведующим лабораторией профессором Сергеем Ландо.
— Когда и по чьей инициативе была создана лаборатория?
— Лаборатория кластерной геометрии создана в 2021 году в рамках мегагранта в соответствии с постановлением Правительства РФ №220 от 2010 года о привлечении ведущих мировых ученых в российские вузы. Отмечу, что наша лаборатория стала третьей на факультете математики Вышки, созданной по итогам победы в Конкурсе мегагрантов.
НИУ ВШЭ делит с СПбГУ первое место по количеству полученных мегагрантов по направлению «Математика и механика» за всю историю мегагрантов (по итогам 8 конкурсов 2010–2021 годов), и надо отдать должное нашему университету: все пять лабораторий продолжают свою исследовательскую деятельность.
Основной целью создания лаборатории было расширение тематики исследований, с тем чтобы студенты и молодые сотрудники получили возможность регулярного общения с ведущими зарубежными учеными, привлекаемыми, чтобы гармонично дополнить компетенции наших коллег.
— Одним из требований в проекте «Международные лаборатории» было приглашение ведущих иностранных ученых, признанных авторитетов в своей сфере исследований.
— Заявка была написана в сотрудничестве с Михаилом Шапиро из Университета штата Мичиган (Ист-Лэнсинг, США). Это российский ученый, длительное время работающий в США.
— Как бы вы объяснили читателям предмет исследований кластерной геометрии?
— Кластерная геометрия — наука, находящаяся в процессе формирования. В ее создании и развитии и состоит основная цель нашей лаборатории. Исходно сотрудничество с Шапиро основывалось на его специализации на кластерных алгебрах. Вообще, алгебра и геометрия в математике — термины многозначные. Если мы можем складывать и умножать какие-то объекты, значит, мы имеем дело с алгебрами. То есть алгебра — это одновременно и отрасль математики, и представитель определенного класса алгебраических структур. Различные алгебры встречаются даже в школьной математике, где рассматриваются, например, алгебра многочленов и алгебра рациональных функций, хотя эти понятия и не определяются. Многозначность термина поначалу вызывает определенные трудности, но математики быстро к ней привыкают и перестают замечать.
Кластерные алгебры оказались неожиданной и совершенно новой математической структурой. Несмотря на это, они очень быстро вошли в математический обиход, стали предметом изучения и нашли применение в смежных сферах. В начале 2000-х годов два американских математика российского происхождения Сергей Фомин (он сейчас возглавляет Международный экспертный совет факультета математики ВШЭ) и Андрей Зелевинский выделили общие свойства у ряда, казалось бы, далеких друг от друга математических объектов и смогли их формализовать, дав определение кластерной алгебры. Михаил Шапиро на раннем этапе присоединился к изучению этих алгебр и написал ряд основополагающих работ с Сергеем Фоминым и другими соавторами.
Задачу нашей лаборатории я воспринимаю как формирование геометрической подложки под эти алгебраические структуры, несущие на самом деле геометрическую составляющую. Мы хотим найти мостики, связывающие их с другими объектами, которые изучаем: инварианты узлов, интегрируемые системы дифференциальных уравнений математической физики.
— Каковы ключевые направления деятельности лаборатории?
— Как и в случае большинства современных исследовательских проектов, особенно выполняемых на стыке различных областей знания, деятельность лаборатории не сводится к одному узкому направлению. Однако в основе всех исследований лаборатории есть общее ядро — так называемые пространства модулей римановых поверхностей (или, что то же самое, алгебраических кривых). То есть мы изучаем искривленные одномерные объекты, но не по отдельности, а в семействах. Их свойства можно использовать для описания физических процессов в микромире.
Сами такие семейства изучаются математиками еще с конца XIX века, но их связь с физикой микромира была установлена американским физиком Эдвардом Виттеном лишь в 1980-е годы. С этого момента изучение семейств кривых из узкого раздела алгебраической геометрии разрослось до заметной области на стыке различных разделов математики и математической физики.
Работа лаборатории связана с изучением геометрии этих семейств, мы рассматриваем ее с разных сторон и применяем инструменты из различных областей математики, но именно этот объект лежит в центре исследований. Одна из главных наших целей — связать эту область деятельности с кластерными алгебрами.
— Какие из них вы считаете наиболее перспективными?
— Все наши работы можно назвать исследованиями на переднем крае науки — не только по тому интересу, который испытывают в мире к изучению этих объектов, но и с точки зрения универсальности применяемых знаний и методов. Оказывается, что изучение пространств модулей кривых требует инструментария из разных областей математического знания. Сюда входят, в частности, топологические и комбинаторные методы, методы теории дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии и теории динамических систем. Можно сказать, это междисциплинарная область.
В свою очередь, полученные результаты находят применение в разных областях математического и физического знания. Важен не только общий интерес сотен групп, работающих над смежными проблемами, но и задействованность различных математических понятий и структур.
— Лаборатория занимается преимущественно фундаментальными или прикладными исследованиями?
— Наши исследования не изолированы, они находят приложения в фундаментальной науке, но их трудно назвать прикладными в общепринятом смысле этого слова, чем-то таким, что непосредственно применяется в разных видах конкретной деятельности.
— Сотрудники лаборатории подготовили серию публикаций о признаках эргодичности и эргодических системах. Поясните, пожалуйста, что означает этот термин, где и как эти системы действуют?
— Есть различные понятия эргодичности, разница между ними тонка даже для математического уха, но дать общее представление об этом свойстве нетрудно. Если вы в бочку меда добавили ложку дегтя и не очень старательно перемешали мед, то деготь не растечется по всей бочке, и вы можете отделить испорченный мед и пользоваться оставшимся. Такой процесс перемешивания — неэргодический. А если перемешать тщательно, деготь распределится равномерно, и съедобного меда не останется вовсе. Процессы перемешивания, в результате которых заведомо не остается чистых веществ, например меда, и называются эргодическими. Задача изучения таких процессов и их отдельных свойств возникает при исследовании не только перемешивания меда, но и любых естественных систем, где приходится сталкиваться с анализом временнóго поведения различных взаимодействующих сред.
В частности, еще один типичный класс систем, которыми мы занимаемся, — различные биллиарды, движение шаров в ограниченных областях по закону отражения. Например, если прямоугольный стол заменить столом сложной формы, поведение шаров на нем может оказаться хаотическим, приобрести эргодические свойства и изучаться с точки зрения эргодической теории. Поведение биллиардов на многоугольных столах, и это далеко не очевидно, поддается изучению с помощью геометрии семейств кривых.
— Встречал в статьях ваших коллег рассуждения о системах с бóльшим и меньшим количеством степеней свободы. Можно ли объяснить, в чем причина различий и как они действуют?
— На бытовом уровне количество степеней свободы — очень простое понятие. Например, трамвай идет по рельсам, не может их покинуть и способен двигаться только вперед и назад. Чтобы полностью описать динамику трамвая, мы должны знать два числа: его расстояние от начала маршрута и скорость, то есть система имеет две степени свободы. У автомобиля больше степеней свободы. Его положение задается двумя координатами точки на плоскости, и для описания динамики нужно задать еще вектор скорости, также имеющий две координаты, т.е. количество степеней свободы автомобиля равно четырем. Наконец, самолет способен также подниматься и опускаться по вертикали, у него шесть степеней свободы.
А системы, которые мы исследуем, обладают бесконечным числом степеней свободы, и для их описания требуется бесконечное число дифференциальных уравнений с бесконечным множеством переменных. Ясно, что случайные системы такой природы не обладают разумными свойствами и являются бесконечно сложными. Класс систем, с которым мы работаем, подчиняется существенным ограничениям. Это интегрируемые системы, их поведение и решения можно описать в понятных и конечных терминах. И хотя они зависят от бесконечного числа переменных, их поведение относительно просто описать. При исследовании геометрии семейств кривых возникают именно такие системы, и мы их изучаем.
— Какие открытия и исследования коллег вы бы выделили?
— В составе лаборатории действует группа, возглавляемая научным руководителем лаборатории Максимом Казаряном, она занимается топологической рекурсией — эффективным подходом к вычислению геометрических характеристик, непосредственно связанных с геометрией семейств алгебраических кривых, требующихся для описания явлений физического микромира. Этой задачей занимаются сотни людей по всему миру последние три-четыре десятилетия. Коллеги, в том числе работающие за рубежом, разработали класс чрезвычайно эффективных методов для вычисления и исследования этих характеристик, в определенном смысле революционизировали эту область. Группа под руководством Максима Казаряна стала мировым лидером в этой сфере.
— С какими подразделениями Вышки вы взаимодействуете?
— В первую очередь с исследовательскими лабораториями факультета математики, это Лаборатория теории представлений и математической физики Александра Буряка. Также достаточно тесное взаимодействие налажено с Лабораторией алгебраической геометрии и ее приложений Дмитрия Каледина и Лабораторией зеркальной симметрии и автоморфных форм Валерия Гриценко, так как решение наших задач требует применения методов из этих областей.
— Применяете ли вы в работе искусственный интеллект и моделирование? Помогают ли они в ваших исследованиях?
— Мы широко применяем математическое программирование в процессе исследований, и многие наши результаты, прежде чем стать теоремами, были получены в ходе многочисленных компьютерных экспериментов. Мы используем их для формулировки и проверки гипотез. Только после того, как удалось сформулировать гипотезы и они подтвердились, приступаем к их доказательству, и довольно часто оказывается, что эти гипотезы верны как математические утверждения.
С ИИ ситуация сложнее: мы воспринимаем его как некоторый инструмент, эффективность которого еще предстоит проверить. Было бы странно не воспользоваться новым появившимся инструментом, мы не исключаем, что он упрощает процесс решения и способен подсказывать новые идеи, но здесь пока наш опыт ограничен. Мы пробуем с ним работать и получили от него полезные подсказки. Вопрос, можем ли мы дальше продвинуться по этому пути. Пока пытаемся. Если будет получаться, то будем развивать это направление, но от нас требуются значительные усилия, чтобы понять, как использовать его возможности.
— Как результаты научных исследований используются в учебном процессе?
— Разнообразно. Одна из ключевых целей лаборатории — вовлекать в исследования студентов и аспирантов, и для ее достижения у нас работает еженедельный исследовательский семинар, на нем обсуждаются самые свежие результаты работы лаборатории. Мы приглашаем студентов, получающих собственные результаты или изучающих вопросы, входящие в сферу наших исследований, рассказать про них на семинаре.
Для тех, кто не задействован в работе непосредственно, сотрудники лаборатории читают спецкурсы. За последние годы их разработано несколько, это курсы, посвященные результатам последних лет. Они пользуются популярностью у студентов, но, естественно, не входят в базовое образование, поскольку оно более традиционно.
— Насколько активно в работе лаборатории участвуют студенты и аспиранты?
— Из приблизительно 25 сотрудников лаборатории старшее поколение составляет 5–6 человек, остальные — молодежь, из них 15 — стажеры-исследователи, это студенты бакалавриата старших курсов, магистранты и аспиранты, проявившие интерес к темам работы лаборатории. Их интерес подкрепляется собственными результатами, позволяющими считать их полноценными членами исследовательского коллектива.
— Каким вам представляется оптимальный баланс между опытными и известными учеными и молодыми исследователями?
— Я не думаю, что есть универсальная золотая середина: это зависит от типа лаборатории. Так, лаборатория в академическом институте вовлекает в свою орбиту молодых ученых, но там доля молодежи неизбежно заметно ниже, чем в учебном заведении, чья основная цель работы — подготовка будущих исследователей. С этой точки зрения у нас, мы считаем, очень хорошее соотношение между опытными исследователями, причем некоторым из них нет и 40 лет, и молодежью. Через лабораторию проходит много студентов и аспирантов, не все задерживаются надолго, но тех, кому интересно, достаточно много. Я бы не сказал, что мы испытываем недостаток молодежи. Ее постоянное присутствие заставляет опытных ученых быть в тонусе, искать задачи значимые и одновременно доступные для молодых исследователей, подстегивает нашу работу.
— Как удается поддерживать и развивать международное научное сотрудничество?
— Развитие математики в течение последних веков недвусмысленно демонстрирует необходимость интенсивного международного сотрудничества, постоянного обмена идеями и результатами исследований. Если вы посмотрите на список наших публикаций, то увидите, что среди наших соавторов — ученые из разных стран, как Запада, так и Китая, Кореи. Когда речь идет об индивидуальном взаимодействии, есть определенные барьеры, но нет запретов. Конечно, очень затруднено институциональное взаимодействие с рядом стран, например подача совместных заявок на гранты. Напротив, с Китаем такие варианты работают, и для сотрудничества с китайскими коллегами никаких барьеров нет ни на одном уровне.
Что сейчас трудно — организовывать международные конференции. У нас есть на это средства, но расходовать их можно только на территории России, и далеко не всякий западный коллега приедет к нам, хотя исключений достаточно много. Например, только что на факультете завершилась крупная по математическим меркам международная конференция, в которой участвовали ученые из Китая, США, Колумбии, Великобритании.
Взаимодействие продолжается, опубликовать в качественном журнале совместную статью с коллегой из, например, Австралии, если получился хороший результат, можно без проблем.